Asie, juin 2021

Partie I

Considérons l'équation différentielle $y^{\prime }=-0,4y+0,4$ , où $y$ désigne une fonction de la variable $t$ , définie et dérivable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ .

1. a. Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.
    b. En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.
    c. Déterminer la fonction $g$ , solution de cette équation différentielle, qui vérifie $g(0)=10$ .

Partie II
Soit $p$ la fonction définie sur l'intervalle  $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $p(t)={\displaystyle \frac{1}{g(t)}}={\displaystyle \frac{1}{1+9{\text{e}}^{-0,4t}}}$ . On admet que $p$ est dérivable sur   $[0;+\mathrm{\infty }[$   .

1. Déterminer la limite de $p$ en $+\mathrm{\infty }$ .

2. Montrer que $p^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{3,6{\text{e}}^{-0,4t}}{{(1+9{\text{e}}^{-0,4t})}^2}}$ pour tout $t\in [0;+\mathrm{\infty }[$ .

3. a. Montrer que l'équation $p(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ .
     b. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à ${10}^{-1}$ près à l'aide d'une calculatrice.

Partie III

1.  $p$ désigne la fonction de la Partie II. Vérifier que $p$ est solution de l'équation différentielle $y^{\prime }=0,4y(1-y)$ avec la condition initiale  $y(0)={\displaystyle \frac{1}{10}}$ où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ .

2. Dans un pays en voie de développement, en l'année  $2020$ , $10$ % des écoles ont accès à Internet.
Une politique volontariste d'équipement est mise en œuvre et on s'intéresse à l'évolution de la proportion des écoles ayant accès à Internet.
On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, depuis l'année $2020$ .
La proportion des écoles ayant accès à Internet à l'instant $t$ est modélisée par $p(t)$ .
Interpréter dans ce contexte la limite de la question II.1. puis la valeur approchée de $\alpha$ de la question II.3.b. ainsi que la valeur $p(0)$ .